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Mar 29 2011

XVII Carnaval de la Física: Las órbitas de las estrellas binarias

[Este post es la contribución de Vega 0.0 al XVII Carnaval de la Física]
Albireo, en la constelación del Cisne. Uno de los más bellos sistemas binarios.

Se pueden usar las estrellas binarias para determinar la masa estelar, debido a que no es posible medir las masas estelares directamente. Para calcularla se mide mediante la determinación de la influencia gravitatoria de un objeto cercano: más de la mitad de las estrellas son sistemas binarios.

Leyes de Kepler del movimiento
Las leyes de Kepler del movimiento planetario describen las órbitas alrededor del Sol. Es más:  estas leyes describen el movimiento de dos cuerpos cualquiera orbitando alrededor de un centro de masas (cdm) común:
   1.- La órbita relativa de dos cuerpos es una sección cónica con un objeto en el foco.
   2.- La línea que conecta los dos cuerpos barre áreas iguales en tiempos iguales.
  3.- El producto del cuadrado del periodo y la masa total del sistema es proporcional al cubo de la separación media de los cuerpos.
Los planetas están en órbitas cerradas que se repiten indefinidamente. Una aproximación sería un círculo, aunque alargado: una elipse. En algunos casos, como por ejemplo los cometas, la órbita no es cerrada y nunca se repite. En este caso será una órbita parabólica o hiperbólica. En la siguiente figura se pueden ver las secciones cónicas:
Las estrellas binarias, son en mayor o menor medida con forma elíptica. En la siguiente figura, a es el semieje mayor, b el semieje menor (b<a). O el centro geométrico de la elipse y tanto F como F’ los focos. Cuanto mayor sea la distancia F a F’ más elíptica será la órbita. 
 
En este caso tenemos que:
      r + r’ = 2a
y siendo e la excentricidad (e<1). La excentricidad es el desplazamiento del foco del centro. Tenemos la fórmula que relaciona a, b y e (pi vale 3,1415927…, ^2 indica elevado al cuadrado y ^(1/2) equivale a la raíz cuadrada):
      b = a ( 1 – e^2 )^(1/2)
y el área de la elipse será:
      A = pi a b = pi a^2 ( 1 – e^2 )^(1/2)

Una vez explicado el concepto de excentricidad, podemos describir las órbitas del siguiente modo:
   1.- Elipse: Su excentricidad es e<1 y es una órbita cerrada tal y como siguen planetas y sistemas binarios.
   2.- Círculo: Su excentricidad es e=0
   3.- Hipérbola: Su excentricidad es e>1 y es una órbita cerrada, tal y como siguen los cometas que no son periódicos.
   4.- Parábola: Su excentricidad es e=1

La estrella más masiva es la estrella primaria, localizada en F, mientras que la llamada compañera es menos masiva. En la imagen 2, P sería la estrella compañera y su periastro (máxima aproximación a la estrella primaria) sería el punto A. Para simplificar, se puede suponer que una estrella es estacionaria y la otra es la que orbita, y que la órbita no está inclinada con respecto al plano del cielo. Las dos estrellas orbitan alrededor del centro de masas (cdm) una diametralmente opuesta a la otra. Como se puede ver el semieje mayor a en la órbita relativa equivale a la distancia media de separación entre las estrellas.

En el caso de la segunda ley, los dos cuerpos barren una área constante por unidad de tiempo. Se el siguiente gráfico:

Entonces:
   alfa = l / r  (en radianes)
El área del triángulo sera 1/2 x base x altura, luego:
   Área del triángulo = 1/2 r l = 1/2 alfa r^2
Como el área barrida es constante en el tiempo:
   Área barrida por unidad de tiempo = 1/2 ( alfa r^2 ) / delta(t) r = 1/2 ( w r^2) = constante
donde
   w = alfa / delta(t)
es la velocidad angular instantánea. (delta(t) indica un intervalo de tiempo). Como el área de la elipse es:
   A = pi a^2 ( 1 – e^2 )^(1/2)

Podemos introducir el periodo orbital:
   w r^2 = ( 2 pi a^2 ( 1 – e^2 )^(1/2) ) / P
Así, mediante la segunda ley se puede demostrar que el momento angular orbital es conservado.
En el caso de la tercera ley, el producto del cuadrado del periodo y la masa total es proporcional al cubo de la separación media de ambos cuerpos. Usando la ley de la gravitación de Newton tenemos:
   ( G / ( 4 pi^2 ) ) P^2 ( M(1) + M(2) ) = a^3
donde G vale 6,673×10^(-11) N m^2 Kg^(-2). Si convertimos las unidades en SI y expresamos las masas M(1) y M(2) en masas solares tenemos:
   M(1) + M(2) = a^3 / P^2
a estará en UA (1 UA vale aproximadamente 149.600.000.000 metros) y una masa solar son 1,989×10^30 Kilogramos (la masa del Sol).
Es muy importante determinar el tamaño orbital. Si el sistema es cercano al Sol, es posible hacerlo mediante la proyección de la órbita sobre el plano del cielo. Si podemos determinar la distancia, podemos entonces determinar el tamaño orbital. Hay varios métodos:
Movimientos de estrellas: El movimiento estelar se resuelve en dos componentes: velocidad radial (v(r)) a lo largo de la línea de visión, y velocidad tangencial (v(t)) en el plano del cielo. El movimiento será:
   v^2 = v(r)^2 + v(t)^2
Velocidad radial: Es la velocidad a la cual el objeto se mueve hacia el observador o se aleja del mismo. Podemos medirlo mediante el efecto Doppler de las líneas espectrales. Sea l(0) la longitud de onda en reposo (la podemos medir en un laboratorio) y l la longitud de onda observada. El desplazamiento al rojo Doppler delta(l) será:
   delta(l) = l – l(0)
Luego:
   v(r) = c ( delta(l) / l(0) )
donde c es la velocidad de la luz. Si l>l(0) habrá un desplazamiento al rojo indicándonos que el objeto observado se aleja. En caso contrario, si l<l(0)  el desplazamiento será al azul y el objeto se acerca. Este método tiene limitaciones: es necesario tener una estrella lo suficientemente brillante para obtener el espectro, y tampoco es válido en sistemas binarios de largo periodo. Su principal ventaja es que es un método independiente de la distancia a la estrella.
Velocidad radial aplicado a sistemas binarios: Tenemos que tener en cuenta el movimiento conjunto del sistema (v(s)) y el movimiento orbital de cada estrella alrededor del centro de masas. Por ejemplo si la estrella secundaria se aleja de a una velocidad v(2) comparada con el centro de masas, el espectro mostrará un desplazamiento al rojo de la composición de v(2) y v(s):
La estrella primaria, moviéndose a una velocidad v(1) mostrará un desplazamiento al azul. Observando a lo largo del tiempo, se puede dibujar el siguiente gráfico. La amplitud es v(1) y v(2). Como las velocidades son medidas con respecto al centro de masas, se puede calcular la masa de las estrellas. La velocidad orbital proporciona una ayuda para calcular el tamaño orbital, dado que la velocidad esta relacionada con la masa y distancia de las componentes.
Movimiento propio: Es el movimiento a lo largo del plano del cielo. Este movimiento, incluso en estrellas cercanas, es pequeño y es necesario observar largos periodos de tiempo (normalmente se necesitan 15 años y alcanza una precisión de 0,003 segundos de arco por año) para obtener un resultado preciso. Las estrellas lejanas se suponen fijas y se usan como estrellas de referencia. Si conocemos la distancia d a  la estrella, la velocidad tangencial es:
   v(t) = u d
donde u es el movimiento propio y se mide en segundos de arco por año. Para expresarlo en kilómetros por segundo hay que multiplicarlo por 4,74 y d medirlo en parsecs.
Sistemas de estrellas binarios
Los tipos son:
Pares ópticos: No están asociados físicamente por fuerzas gravitacionales pero aparecen cercanas en el firmamento. Para verificarlo se miden sus velocidades y/o distancia. 
Binarias visual: Se observa la órbita proyectada sobre el cielo. Los periodos van de 1 a 1.000 años (periodos superiores necesitan muchos años de observación).
Binarias astrométricas: Solo una estrella es visible mientras que la compañera es demasiado débil para ser detectada. Se puede detectar si la estrella visible muestra un movimiento oscilatorio (como en el caso de Sirio A).
Binarias espectroscópicas: Si el sistema está muy lejos, no será posible resolver en componentes individuales el sistema ni detectar oscilación del movimiento debido a la existencia de una órbita. En este caso se puede detectar a través de oscilaciones periódicas en las líneas de absorción o emisión del espectro: la velocidad de los componentes puede causar desplazamientos al rojo o al azul. 
Binarias espectrales: Se trata de otro tipo de binaria irresolubles. Al igual que en el caso anterior estudiaremos el espectro, aunque la diferencia radica en que el espectro de estas estrellas mostrará una composición incluso si las componentes no muestran un desplazamiento al rojo/azul. Es válido cuando el sistema se compone de una estrella fría y otra caliente.
Binarias eclipsantes: Son sistemas en los cuales sus componentes se eclipsan de modo periódico, causando un cambio regular en su brillo aparente. Si suponemos que los sistemas están orientados aleatoriamente, solo una pequeña cantidad de los mismos estarán alineados correctamente de modo que los eclipses sean visibles desde la Tierra. Una ventaja en estos sistemas es la posibilidad de calcular el tamaño relativo de cada componente.
Elementos orbitales
Los elementos orbitales son usados para describir la orientación de la órbita del sistema binario en el cielo. Se puede asumir un sistema de coordenadas (x,y,z). 
Así:
   N es el nodo ascendente (camino NAN’ que queda por encima del plano xy)
   N’ es el nodo descendente (camino N’BN que queda por debajo del plano xy)
   a es el semieje mayor
   e la excentricidad
   P es el periodo de revolución
   i la inclinación del plano orbital
   o (omega) la posición angular del nodo
   w la longitud en el periastro (punto más cercano)
   T el punto cero de tiempo del paso por el periastro
Si los elementos orbitales pueden ser calculados, se pueden calcular las masas individuales de cada componente. Sea s la separación angular de las componentes y tetha el ángulo de posición:
Si las posiciones medidas son dibujadas, se obtiene la órbita tal y como queda proyectada en el cielo. Sea s el tamaño de la órbita (en segundos de arco), d la distancia a la estrella (en parsecs) y p el paralaje medido:
   a = s d = s / p
donde a es el semieje mayor en UA. Luego la tercera ley de Kepler queda:
   M(1) + M(2) = a^3 / P^2 = s^3 / ( P^2 p^3)
P está expresado en años y las masas en masas solares.

4 comentarios

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  1. Verónica Casanova

    Un post estupendo. Magníficas ilustraciones las que has diseñado. Felicidades!!!

  2. Francisco Sevilla

    Muchas gracias Vero!!
    Mañana ya es el XVII Carnaval de la Física. Hay un montón de posts participando!

  3. edgar

    Muy bueno, pero un poco técnico.

  4. Francisco Sevilla

    Gracias Edgar. Es un poco técnico, pero era necesario para poder profundizar un poco en la dinámica de los sistemas binarios.
    Saludos,

    Fran

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