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Nov 10 2014

Estudiando la incertidumbre cuántica con MAXIMA

No es la primera vez que hablamos de los principios de la física cuántica (por ejemplo ver artículos “El estado cuántico de una partícula“, “El postulado de De Broglie” y “El problema de la medida en mecánica cuántica“). Entre ellos hay uno muy importante y popular: el principio de incertidumbre. Sin embargo en esta ocasión lo vamos a abordar desde otro punto de vista. Vamos a ayudarnos de una herramienta de software para intentar “ver” dicha incertidumbre. Para ello primero describiremos el fenómeno desde el punto de vista de la física, y terminaremos usando un software denominado Maxima para realizar de modo muy sencillo un gráfico que nos permita visualizarlo.
La función de onda
En física clásica el estado de una partícula viene dado por su posición (cojamos por simplificar x) y momento lineal (consideremos p como el momento lineal en el eje x). A partir de estos datos, podemos calcular como evolucionará el sistema a lo largo de tiempo. Sin embargo, en física cuántica, la situación cambia. El estado de un sistema esta especificado por la llamada función de onda f(x) (consideremos únicamente en el eje x).

Figura 1: Ejemplos de funciones de onda
Vamos a intentar caracterizar la función de onda. En primer lugar hay que decir que no es una función real, se trata de una función compleja. Por otro lado debe ser una función que sea continua, que no sea multivaluada (varios valores para un x concreto). En la figura 1 se puede ver varios ejemplos. Una función de onda clásica, correspondiente a una onda plana sería 
donde k es el número de onda y vale 2*pi/(longitud de onda).
Otra propiedad importante de la función de onda sería la superposición. Dadas dos posibles funciones de onda (por ejemplo f1(x) y f2(x)) que correspondan a diferentes estados de un sistema, el sistema se encuentra en una superposición, donde la función de onda del estado es combinación lineal de f1(x) y f2(x).
donde a y b son valores complejos. Representan la probabilidad asociada a cada configuración y deben cumplir la condición de normalización (la suma de las probabilidades -los cuadrados de a y b- debe dar 1 -100%-). Evidentemente un sistema puede estar compuesto por más de dos estados.
La incertidumbre de Heisenberg y la transformada de Fourier
Tal y como describe el principio de incertidumbre:
Cuando está bien definida la posición de una partícula, no lo está el momento, y viceversa. Por ejemplo, en la figura 1, podemos ver que la función 1 está mucho más definida que en el caso de la función 2, sinusoidal. Mientras que vemos en la función 1 una posición muy centrada alrededor de x1 para los valores del eje de ordenadas, la función 2 no nos permite tenerlo tan claro.
Figura 2: Ejemplos de la aplicación de la transformada de Fourier
Ahora bien, la función de onda no solamente se puede expresar en el espacio de coordenadas, también puede ser expresada en el espacio de momentos. Esto se logra a través de la transformada de Fourier, que nos indica que una función f(x) puede ser construida mediante la superposición de suficientes funciones f'(p). Así, las transformaciones serían, para el caso de convertir del espacio de momento al de coordenadas será (usamos k en lugar de p, recordando que p=h/(2*pi*k)):
y su transformación inversa, del espacio de coordenadas al de momentos:
En la figura 2 se puede ver un ejemplo de transformación. Si os fijáis bien, cuando realizamos la transformación entre espacios, las funciones poco definidas en el espacio inicial pasar a ser mejor definidas en el final, y a la inversa. De este modo podemos ver claramente el principio de incertidumbre.
Usando Maxima
Maxima (http://maxima.sourceforge.net/) es una sistema de manejo de expresiones numéricas y simbólicas que permite calcular ecuaciones diferencias, series de Taylor, polinomios, matrices,…. Esta bajo una licencia GNU General Public License (GPL) y se puede descargar gratuitamente desde su página web. Existen versiones tanto para Microsoft Windows como Linux.
Gráfico 3: Función de onda en el espacio de coordenadas
Para resolver este sencillo problema únicamente necesitamos cuatro líneas. Con ellas podemos realizar los gráficos correspondientes (ver gráficos 3, 4, 5 y 6). Lo que hacemos es partiendo de una función de onda en el espacio de coordenadas (onda plana. Gráfico 3), obtener la correspondiente en el espacio de momentos mediante la transformada de Fourier. Estas son las líneas:

h(x):=realpart(exp(%i*2*%pi*x));
g(x):=realpart((1/sqrt(2*%pi))*integrate(h(x)*exp(-%i*2*%pi*(y*x)),x,-100,100));
plot2d(g(x), [y,0,10],[xlabel,”p”],[ylabel,”g(x)”],[legend,”Espacio de momentos”]);
plot2d(h(x), [x,0,10],[xlabel,”x”],[ylabel,”h(x)”],[legend,”Espacio de coordenadas”]);

Gráfico 4: Función de onda resultante en el espacio de momentos. Intervalo de -10 a 10
No obstante hay que tener en cuenta varias cosas. En primer lugar el intervalo de la integración no va de -infinito a infinito, pues el cálculo se alargaría mucho en el tiempo. cuanto más extenso sea el intervalo, más concentrada nos aparecerá la función de onda en el espacio de momentos. Esto se entiende desde el punto de vista de que al cerrar el intervalo, también estamos restringiendo la función de onda del espacio de coordenadas que consideramos (y así reducimos la incertidumbre. El resultado en el espacio de momentos se puede ver en los gráficos 4 (de -10 a 10), 5 (de -100 a 100, ver código en Maxima) y 6 (de -10000 a 10000). En cada uno de ellos hemos ido aumentando el intervalo de integración.
Gráfico 5: Función de onda resultante en el espacio de momentos. Intervalo de -100 a 100
Otra cosa importante que no hemos tenido en cuenta es que debemos normalizar la función de onda. No obstante como buscamos en este artículo un código en Maxima sencillo y obtener algo visualmente útil, podemos prescindir, sobre todo tendiendo en cuenta que no nos interesa obtener la densidad de probabilidad.
Gráfico 6: Función de onda resultante en el espacio de momentos. Intervalo de -10000 a 10000

10 comentarios

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  1. Anónimo

    Muy instructivo.

    1. Francisco Sevilla

      Gracias. El objetivo es mostrar una manera de comprobar un principio tan popular como el de la incertidumbre. Tal como se indica se puede mejorar normalizando la función o haciendo el cálculo para el intervalo [-inf,inf], pero creo que puede ser orientativo.
      Tenemos la idea de volver a publicar más artículos donde se muestre como aplicar MAXIMA a cálculos concretos.

      Un saludo,
      Fran

  2. Anónimo

    existe alguna partícula de energia 0??

    1. Francisco Sevilla

      Hola,

      Nunca se ha observado una partícula de energía 0. De todos modos es algo relativo pues realmente no se mide la energía, sino diferencias.

      Saludos,
      Fran

    2. Anónimo

      me parece una respuesta muy vaga

    3. Francisco Sevilla

      Supongamos E=0, entonces para una partícula libre (suponiendo que no actúa un potencial sobre ella) E=((h-barra)^2)x(k^2)/(2m)=0. Por lo que k=0.

      Si para describir la partícula usamos una función de onda con la forma exp(ikx) (onda plana), tendríamos exp(ikx)=exp(i0x)=exp(0)=1. O sea, una función de onda constante, y una función de onda constante no es normalizable, requisito fundamental para cualquier función de onda.

      Un saludo,
      Fran

    4. Anónimo

      pero la energia tiene ke ser E= mc2

    5. Francisco Sevilla

      Hola, esa es la energía relativista en reposo. Para la partícula que analizamos tiene energía aunque no está sometida a un potencial (libre). Luego su hamiltoniano es H=(p^2)/(2m) donde p es el momento lineal, y que por la relación de De Broglie vale p=(h-barra)k. Si lo llevas a la expresión de H, y consideras que la evolución del sistema es independiente del tiempo (estacionaria), por lo que H=E, te da la expresión indicada en mi respuesta.

      Un saludo,
      Fran

  3. Anónimo

    gracias por las explicaciones

    1. Francisco Sevilla

      A ti por visitar el blog y participar activamente, lo que enriquece mucho el contenido!

      Saludos
      Fran

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