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Oct 14 2015

Agujeros negros, gravedad y relojes perezosos


Sin duda alguna, los objetos más exóticos de universo son los agujeros negros. Cuerpos que representan (junto con el propio Big Bang) lo que en relatividad general se conoce como singularidad. Un cuerpo muy masivo pero concentrado en un espacio diminuto. La densidad es tan alta que el campo gravitatorio a su alrededor alcanza intensidades tan altas que ni la propia luz puede escapar. Aún nos queda mucho para comprender lo que ocurre en dicha singularidad. El espacio-tiempo está tan curvado que la relatividad no puede usarse. Por otro lado, sería de esperar que la mecánica cuántica, que estudia el universo a pequeña escala, fuese capaz de dar alguna explicación. Pero tampoco es así. La mecánica cuántica no puede explicar la fuerza gravitatoria, y en el caso de una singularidad, es cualquier cosa menos un efecto despreciable.

Si un astronauta se acercase a la superficie de dicho agujero negro, veríamos como poco a poco se va ralentizando. Es conocido el efecto de la ralentización del tiempo en la proximidad del horizonte de sucesos (el “punto de no retorno”) de los agujeros negros. Pero esta ralentización, ¿cómo es posible? En este post vamos a intentar comprender el motivo. Para ello es necesario hablar de relatividad general…

Newton vs. Einstein


Siglo XVII, una mente privilegiada, sir Isaac Newton. Uno de los grandes científicos de la historia. Innumerables aportaciones al cálculo, óptica, dinámica y entendimiento del campo gravitatorio. En 1686 su brillante mente, comprende que la fuerza que actúa sobre una manzana que cae de un árbol y la que mantiene a la Luna orbitando alrededor de la Tierra, en realidad es la misma. A partir de aquí desarrolla su teoría de la gravitación universal, capaz de explicar el movimiento de los planetas. El universo, en ese momento, pasa a ser algo mecánico, predecible. Sin embargo Newton no sabía explicar exactamente que era esa fuerza. 

Pasaron más de 200 años, hasta que un joven e inquieto físico llamado Albert Einstein, decidiese cambiar radicalmente esta visión. Eran comienzos del siglo XX. Planck había dado inicio a la mecánica cuántica. Nuestra forma de entender el microuniverso a partir de Planck no iba a ser igual. Cambiaba radicalmente. Pero para los científicos de la época no terminaban aquí las sorpresas. En 1905 Einstein presentaba su teoría de la relatividad especial, y posteriormente, en 1915, la teoría de la relatividad general. Nuestra visión del universo a gran escala, cambiaría radicalmente.

Según la teoría de la gravitación universal, la gravedad era una fuerza de acción a distancia instantánea. De este modo, si bien la luz del Sol tarda 8 minutos en llegar a la Tierra, sus efectos gravitatorios son instantáneos. Imaginemos que ocurriría si nuestro Sol desaparece del Universo, desde el punto de vista clásico. Notaríamos de modo instantáneo la desaparición de la atracción gravitatoria que ejerce el Sol. Y nos preguntaríamos “¿A que es debido? No puede ser por el Sol, le seguimos observando en el cielo”. Efectivamente, 8 minutos después dejaríamos de recibir su luz. Desde luego esta diferencia no mola…

Einstein en su relatividad general, soluciona el problema. La gravedad pasa a ser consecuencia de la curvatura del espacio tiempo. Ahora, en el nuevo escenario, la masa del Sol causa una curvatura en el tejido del espacio-tiempo, y dicha curvatura es la que nosotros sentimos como atracción gravitatoria. Si el Sol desaparece, dicha curvatura nunca podría ir desapareciendo a un ritmo superior a la velocidad de la luz. Luego detectaríamos los efectos -desaparición atracción gravitatoria y desaparición de su luz- simultáneamente.

… Einstein wins ….

Los principios de la relatividad general


La teoría de la relatividad general se basa en tres puntos: el principio de covarianza, el principio de equivalencia y la curvatura del espacio-tiempo. El principio de covarianza fue lo que permitió generalizar la relatividad especial, que presenta que para todos los sistemas de referencia, las leyes físicas tienen una misma forma: son indistinguibles y físicamente equivalentes.

El principio de equivalencia (también conocido como invariancia local de Lorentz) nos presenta algo que parece evidente una vez presentado, pero que no lo era tanto antes de abordarlo de este modo. Sean dos sistemas. El primero, un cuerpo en caída libre. El segundo, un cuerpo en una región del espacio-tiempo en la cual no hay campo gravitatorio. Por este principio, ambos están en un estado físico que es básicamente igual. No sólo eso, además ambos son sistemas inerciales. Desde el punto de vista de la física clásica (de Newton) un sistema inercial era aquel que tiene una velocidad constante (puede estar o no en movimiento), mientras que será no inercial si presenta una aceleración. Además, dicha aceleración, en base a las leyes de Newton (F=ma) es causada por una fuerza exterior.

Pero el cambio radical de ver las cosas con que Einstein dotó a su teoría fue el ver que el efecto gravitatorio no es una fuerza: es consecuencia de la curvatura del espacio-tiempo. Esto suena muy bonito, pero ¿qué tiene que ver con los sistemas inerciales? Desde este nuevo punto de vista, un cuerpo en caída libre es un sistema inercial (cosa que a Newton le hubiese parecido un disparate). ¿Otro ejemplo? Un cuerpo sobre la superficie terrestre sería no inercial, pues experimenta una aceleración de origen gravitatorio.

La curvatura del espacio-tiempo

La curvatura del espacio-tiempo nos da la clave para comprender el motivo por el cual el tiempo transcurre más lento en la proximidad de cuerpos masivos. Como ya hemos indicado, la presencia de un cuerpo deforma el tejido del espacio-tiempo creando lo que será un campo gravitatorio.

Supongamos que un fotón, emitido por una estrella lejana, llega tras años de viaje a la Tierra. Desde el punto de vista del fotón, al llegar a la Tierra, está en caída libre. De este modo el fotón constituye un sistema inercial (para Einstein), y su energía (y longitud de onda, ya que según nos presenta la mecánica cuántica, la energía del fotón depende de la longitud de onda en la forma E=hf, donde f es la frecuencia) no variará debido a la presencia del campo gravitatorio.

Ahora bien, veamos con lo verá un observador situado en la superficie terrestre. En este caso, el observador ve que el fotón cae dentro del campo gravitatorio. Dicha caída implica que el fotón absorbe energía potencial gravitatoria. Al aumentar su energía, aumenta su frecuencia, se reduce su longitud de onda, y lo veríamos más azul. La energía que observaremos será:
donde phi representa el potencial gravitatorio en la región donde observamos el fotón y E(fot) la energía del fotón.

Todo esto parece contradictorio, pues en un sistema y otro se mide diferente energía. Evidentemente ambos valores deben ser iguales. Igualemos las energías:
 
donde t(obs) es el tiempo medido por el observador en la Tierra, y t(fot) es el tiempo medido en el sistema del fotón. De este modo tenemos una expresión que nos delata que los tiempos medidos en un sistema y otro son diferentes y que están en relación a la intensidad del campo gravitatorio: ¡El tiempo se ralentiza en presencia de campos gravitatorios!

Y ¿podría llegar a congelarse el tiempo de algún modo? Efectivamente. En la proximidad de una singularidad puede ocurrir. Según las ecuaciones de la gravedad, la intensidad del campo gravitatorio depende de la masa y del radio del cuerpo. De este modo, en un agujero negro, el radio tiende a cero y la masa a valores enormes. De este modo, el potencial creado en la proximidad de dicho cuerpo tiende a infinito. Aplicando esto a los tiempos medidos, tendremos:
Por lo que un observador verá que el tiempo medido se congela.

Este efecto fue confirmado en 1959 mediante el experimento Pound-Rebka-Snider y sin tenerlo en cuenta, de nada nos servirían el GPS que habitualmente usamos cuando conducimos. Pero recuerda…. esto no es más que la punta de iceberg…


Referencias

– “Cosmology. The science of the universe“. E. Harrison. Editorial Cambridge. 2000
– “Física“. P.A. Tipler. Editorial Reverté. 1993
– “El universo desbocado“. P. Davies. Editorial Salvat. 1988
– “Universe“. Freedman y Kaufmann III. Editorial Freeman. 2007
– “Relatividad especial. MIT physics course“. A.P. French. Editorial Reverté. 1988
– “Agujeros negros y tiempo curvo“. K.S. Thorne. Editorial Crítica. 1995
– “La Relatividad General. 1ª parte“, Astrofísica y Física. 2010
– “La Relatividad General. 2ª parte“, Astrofísica y Física. 2010
– “Artículo de Verónica Casanova: Ondas Gravitatorias“. Vega 0.0. 2011
– “Introducción a la Cosmología (4): Física usada en Cosmología“, Vega 0.0. 2010
– “Introducción a la Cosmología (14): La relatividad en la cosmología“, Vega 0.0, 2011
– “Los archivos de Einstein a tu disposición en internet“, Vega 0.0, 2012
– “Einstein tenía razón – por ahora“, Vega 0.0, 2013
– “La sonda Gravity Probe B de la NASA confirma dos teorías…“, Vega 0.0, 2011

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