Las órbitas de las estrellas binarias (II)

Las órbitas de las estrellas binarias, son en mayor o menor medida con forma elíptica. En la siguiente figura, a es el  semieje mayor, b el semieje menor (b<a). O el centro geométrico de la elipse y tanto F como F’ los focos. Cuanto mayor sea la distancia F a F’ más elíptica será la órbita.

En este caso tenemos que:

      r + r’ = 2a

y siendo e la excentricidad (e<1). La excentricidad es el desplazamiento del foco del centro. Tenemos la fórmula que relaciona a, b y e (pi vale 3,1415927…, ^2 indica elevado al cuadrado y ^(1/2) equivale a la raíz cuadrada):
b = a ( 1 – e^2 )^(1/2)
y el área de la elipse será:
A = pi a b = pi a^2 ( 1 – e^2 )^(1/2)

Una vez explicado el concepto de excentricidad, podemos describir las órbitas del siguiente modo:
1.- Elipse: Su excentricidad es e<1 y es una órbita cerrada tal y como siguen planetas y sistemas binarios.
2.- Círculo: Su excentricidad es e=0
3.- Hipérbola: Su excentricidad es e>1 y es una órbita cerrada, tal y como siguen los cometas que no son periódicos.
4.- Parábola: Su excentricidad es e=1La estrella más masiva es la estrella primaria, localizada en F, mientras que la llamada compañera es menos masiva. En la imagen 2, P sería la estrella compañera y su periastro (máxima aproximación a la estrella primaria) sería el punto A. Para simplificar, se puede suponer que una estrella es estacionaria y la otra es la que orbita, y que la órbita no está inclinada con respecto al plano del cielo. Las dos estrellas orbitan alrededor del centro de masas (cdm) una diametralmente opuesta a la otra. Como se puede ver el semieje mayor a en la órbita relativa equivale a la distancia media de separación entre las estrellas.

En el caso de la segunda ley, los dos cuerpos barren una área constante por unidad de tiempo. Se el siguiente gráfico:

Entonces:
alfa = l / r  (en radianes)
El área del triángulo sera 1/2 x base x altura, luego:
Área del triángulo = 1/2 r l = 1/2 alfa r^2
Como el área barrida es constante en el tiempo:
Área barrida por unidad de tiempo = 1/2 ( alfa r^2 ) / delta(t) r = 1/2 ( w r^2) = constante
donde
w = alfa / delta(t)
es la velocidad angular instantánea. (delta(t) indica un intervalo de tiempo). Como el área de la elipse es:
A = pi a^2 ( 1 – e^2 )^(1/2)

Podemos introducir el periodo orbital:

   w r^2 = ( 2 pi a^2 ( 1 – e^2 )^(1/2) ) / P

Así, mediante la segunda ley se puede demostrar que el momento angular orbital es conservado.